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京都発大龍堂通信:メールマガジン通巻15527号 2020年3月10日
現代基礎数学 20 『ディリクレ形式入門』現代基礎数学 20
『ディリクレ形式入門』

著:竹田雅好、桑江一洋
発行:朝倉書店
定価:(本体4,000円+税)A5・240p
978-4-254-11770-7
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確率過程論において理論と応用の両面で展開する対称マルコフ過程とディリクレ形式を詳説。
[目次]
1. 対称マルコフ連鎖とディリクレ形式
 1.1 Q-行列とマルコフ連鎖
 1.2 定常分布
 1.3 ディリクレ形式
 1.4 スペクトルギャップI
 1.5 関数不等式とその応用
  1.5.1 対数ソボレフ定数
  1.5.2 ナッシュ不等式とスペクトルギャップ
 1.6 スペクトルギャップII
 1.7 等周定数とスペクトルギャップ
2. 対称拡散過程
 2.1 一次元拡散過程
 2.2 ブラウン運動とディリクレ積分
3. ディリクレ形式の一般論
 3.1 基本概念
 3.2 レゾルベントの構成とその性質
 3.3 ディリクレ形式の例
 3.4 超過関数
 3.5 容量と準連続性
 3.6 ディリクレ形式の過渡性, 再帰性
4. ディリクレ形式の内在的距離
 4.1 エネルギー測度
 4.2 強局所ディリクレ形式の内在的距離
 4.3 条件(A) を満たす例
 4.4 一般の内在的距離とその性質
 4.5 シルヴァーシュタイン拡張の一意性
5. 対称マルコフ過程の解析
 5.1 緊密性を持つ対称マルコフ過程
 5.2 ドンスカー・ヴァラダーン型大偏差原理
 5.3 吸収壁ブラウン運動とディリクレ・ラプラシアン
 5.4 ファインマン・カッツ半群
 5.5 ランダムな時間変更過程の緊密性
  5.5.1 時間変更過程の緊密性
  5.5.2 散乱長と容量
 5.6 ディリクレ形式の変分公式
 5.7 マルコフ半群のコンパクト性
 5.7 熱核の安定性
6. ディリクレ形式のエルゴード性
 6.1 既約性とエルゴード性
 6.2 ファインマン・カッツ処罰問題への応用
  6.2.1 基底状態h の構成
  6.2.2 定理6.2.1の証明
補 遺
 A.1 出生死亡過程
 A.2 一次元拡散過程
 A.3 対称マルコフ過程とディリクレ形式
  A.3.1 ディリクレ形式から生成されるハント過程
  A.3.2 正値連続加法汎関数と滑らかな測度
  A.3.3 エネルギー有限な加法汎関数とその分解
  A.3.4 マルチンゲール加法汎関数の分解とブーリン・ドゥニ公式
 A.4 一様可積分性
 A.5 拡張ディリクレ形式
 A.6 拡張シュレディンガー形式



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